Observera att de omnämnda satserna här ofta är ofullständigt formulerade. För de exakta lydelserna med fullständiga förutsättningar hänvisas till kurslitteraturen.
Hänvisningarna gäller, om inget annat anges, kapitelavsnitt i Wunsch: Complex Variables with Applications, second edition.
Avsnitt utmärkta med * tillhör ej det centrala stoffet.
| Def: |
Topologiska grundbegrepp | 1.5 |
| Def: | Gränsvärde, kontinuitet | 2.2 |
| Def: | Derivata | 2.3 |
| Def: | Def: Cauchy-Riemanns ekvationer | 2.3 |
| Sats3: |
Om u, v och dess derivator är kont. i omgivn. av z, så: f'(z) existerar omm C-R-ekvationerna är uppfyllda. Bevisa: f' existerar => C-R -ekv. gäller. |
2.3 |
| Sats: | L'Hospitals regel | 2.4 |
| Def: | Analyticitet i ett område | 2.4 |
| Sats5: | Summa, produkt och kvot m.m. av anal.fkner är analytisk. | 2.4 |
| Def: | Singularitet = singulär punkt. | 2.4 |
| Def: | Harmonisk funktion och harmoniskt konjugat. | 2.5 |
| Sats6: |
Om f är analytisk i ett område, så är
real- och imaginärdelarna harmoniska funktioner i området. Bevis. | 2.5 |
| Sats8: |
Nivåkurvorna till två konjugerade harmoniska funktioner skär varandra vinkelrätt. Bevis. | 2.5 |
| Def: | Exponentialfunktionen. | 3.1 |
| Def: | De trigonometriska funktionerna. | 3.2 |
| Def: | Logaritmfunktionen log och dess principalvärdesgren Log z. | 3.4 |
| Def: | Gren och grensnitt. | 3.5 |
| Def: | Komplexa potenser | 3.6 |
| Def: |
De inversa trigonometriska funktionerna. | 3.7 |
| Def: | Komplex linjeintegral. | 4.2 |
| Sats: | ML-olikheten. Bevis. | 4.2 |
| Def: | Enkel sluten kurva. | 4.3 |
| Sats1: | Greens sats i planet. | 4.3 |
| Sats 2: |
(Cauchy-Goursat) Om f är analytisk i D, så är varje integral över en enkel sluten kurva i D lika med 0. Bevis. (Antag att f' är kont. i D). | 4.3 |
| Sats 3,4: | Deformationsprincipen. Bevis. | 4.3 |
| Def: | Principen om vägoberoende. Bevis. | 4.4 |
| Sats 6: | Fundamentalsatsen för analytiska funktioner. | 4.4 |
| Sats 7: | Cauchys integralformel. Bevis. | 4.5 |
| Sats 8: | Generalisering av Cauchys integralformel. | 4.5 |
| Sats 10: | Gauss' medelvärdessats. Bevis. | 4.6 |
| Sats 11: | Maximum-modulus-satsen. | 4.6 |
| Sats 12: | Liouvilles sats | 4.6 |
| Sats: |
Algebrans Fundamentalsats. | 4.6 |
| Def: | Gränsvärde av en serie. Absolut och villkorlig konvergens. | 5.2 |
| Def*: | Likformig konvergens. | 5.3 |
| Sats 11*, Sats 12*: |
Summor av anal. fkner konvergerar likformigt, vilket medför att summan är analytisk och kan deriveras termvis. | 5.3 |
| Def: | Konvergensradie | 5.4 |
| Sats 14*: |
Likformig konvergens och analyticitet hos potensserier. | 5.4 |
| Sats 15: |
Analytiska fkner kan representeras lokalt av potensserier. | 5.4 |
| Sats 17: |
Maximala cirkeln i vilken f:s potensserie konvergerar mot f(z) har radien lika med avståndet till närmaste singularitet. | 5.4 |
| Def: | Laurent-serie. | 5.6 |
| Sats 18: | Laurents sats. | 5.6 |
| Sats 19 : |
Analytiska funktioner (som inte är konstanta) har isolerade nollställen. Bevis. | 5.7 |
| Kor: |
Två olika analytiska funktioner kan inte ha samma värden på en öppen mängd eller på en sluten, odegenererad kurva. | 5.7 |
| Def: |
Analytisk fortsättning. | 5.7 |
| Def: | Residy. | 6.1 |
| Sats 1: |
Residyn i a = koeff. för 1/(z-a) i Laurentserien omkring a. Bevis. | 6.1 |
| Sats 2: | Residy-satsen. | 6.1 |
| Def: | Pol av ordning N. | 6.2 |
| Def: | Väsentlig singularitet. | 6.2 |
| Regel I - IV: | Beräkningsregler för residyer. | 6.3 |
| Sats: | Jordans lemma | 6.6 |
| Sats 6: |
Integraler över små cirkelbågar omkring enkla poler. | 6.7 |
| Sats 6: | Argumentprincipen. | 7.3 |
| Sats: | Rouchés sats. Bevis. | 7.3 exerc. 8 |
| Sats: | Nyquists polynomkriterium. | 7.4 |
| GJ |