1A

1 - i = e^{i(-/4 + 2k)},       k = 0, ±1, ±2, ...

Alltså (1 - i)^1/4 = 2^1/8e^{i(-/16 + k/2)},       k = 0, 1, 2, 3,

där 2^1/8 här betyder den unika positiva 8:e roten ur 2.

1B

i + 1 = e^{i(/4 + 2k)},       k = 0, ±1, ±2, ...

Alltså (i + 1)^1/4 = 2^1/8e^{i(/16 + k/2)},       k = 0, 1, 2, 3,

där 2^1/8 här betyder den unika positiva 8:e roten ur 2.

2A

u = x² - y² - y.

Använd Cauchy-Riemann: u_x = v_y   u_y = -v_x.

Här är u_x = 2x = v_y vilket medför att

(*)   v = 2xy + g(x).

P.s.s. u_y = -2y -1 = -v_x, dvs. v_x = 2y + 1

att jämföra med x-derivatan av v i (*):

v_x = 2y + g'(x), vilket ger g'(x) = 1 och g(x) = x + C.

Svar: v(x,y) = 2xy + x + C är harmoniskt konjugat.

OBS! Eftersom både f=u+iv och if=iu-v är analytiska funktioner, är v harmoniskt konjugerad till u och u harmoniskt konjugerad till -v.
Så även -v = -2xy - x + C₁ godkänns som svar.

2B

u = x - 2xy.

Använd Cauchy-Riemann: u_x = v_y   u_y = -v_x.

Här är u_x = 1 - 2y = v_y vilket medför att

(*)   v = y - y² + h(x).

P.s.s. u_y = -2x = -v_x, dvs. v_x = 2x

att jämföra med x-derivatan av v i (*):

v_x = h'(x), vilket ger h'(x) = 2x och h(x) = x² + C.

Svar: v(x,y) = y - y² + x² + C är harmoniskt konjugat.

OBS! Eftersom både f=u+iv och if=iu-v är analytiska funktioner, är v harmoniskt konjugerad till u och u harmoniskt konjugerad till -v.
Så även -v = y² - y - x² + C₁ godkänns som svar.

3A

För den flervärda funktionen f(z) = z^1/3 gäller

(i)    z^1/3 = e^{(1/3)log z} = e^{(1/3)(ln r + i + i2k)}, där k = 0, ±1, ±2, ..

och där ligger i något intervall med längden 2.

För att (i) skall ge den givna grenens funktionsvärden bör detta intervall anpassas till grenens grensnitt:

(ii)    -5/4 < < 3 /4.

Dessutom bör k bestämmas i (i) m.hj. a det givna funktionsvärdet.

Villkoret f(-1) = 1/2 + i/2 på grenen innebär att

1/2 + i/2 = e^{(1/3)(ln 1 + i(-) + 2k)} = e^{-i/3 + 2k/3} , eftersom -1 har argumentet -    i intervallet (ii).

Detta leder till k = 1 (eller 4, 7, ... osv.) eftersom 1/2 + i/2 = e^i/3 .

1 har argumentet 0 i (ii) och f(1) fås alltså ur (i) med = 0 och k=1:

f(1) = e^{(1/3)(ln 1 + i.0 + i2)} = e^i2/3 = -1/2 + i/2

3B

För den flervärda funktionen f(z) = z^1/3 gäller :

(i)    z^1/3 = e^{(1/3)log z} = e^{(1/3)(ln r + i + i2k)}, där k = 0, ±1, ±2, ..

och där ligger i något intervall med längden 2.

För att (i) skall ge den givna grenens funktionsvärden bör detta intervall anpassas till grenens grensnitt:

(ii)    -5/4 < < 3 /4.

Dessutom bör k bestämmas i (i) m.hj. a det givna funktionsvärdet.

Villkoret f(-1) = 1/2 + i/2 på grenen innebär att

1/2 + i/2 = e^{(1/3)(ln 1 + i(-) + 2k)} = e^{-i/3 + 2k/3} , eftersom -1 har argumentet -    i intervallet (ii).

Detta leder till k = 1 (eller 4, 7, ... osv.) eftersom 1/2 + i/2 = e^i/3 .

1 har argumentet 0 i (ii) och f(1) fås alltså ur (i) med = 0 och k=1:

f(1) = e^{(1/3)(ln 1 + i.0 + i2)} = e^i2/3 = -1/2 + i/2