5B. Arcusfunktioner


kallas också cyklometriska funktioner och är inverser till de trigonometriska funktionerna.
Exempelvis är y = arcsin x detsamma som x = sin y (om x ligger mellan -1 och 1 samt y mellan - /2 och /2 ).
Jämför med ln x och ex:
y = ln x är detsamma som x = ey (om x>0).
Tänk på arcsin x som den vinkel (mellan -/2 och /2 ) vars sinus-värde är x.

Här nedan är grafen för    y = arcsin x:

Som synes har arcsin definitionsmängden -1 x 1.

Dessutom är arcsin udda, dvs arcsin(-x) = - arcsin x.

Det finns en enkel relation mellan arcsin och arccos:

(X)   arcsin x + arccos x = /2,
som gör att man lätt kan klara sig med enbart arcsin.

Med hjälp av arcusfunktioner kan man lösa vissa trigonometriska ekvationer som vi inte klarade av i 5A:

(*) sin x = -3/7

(1) x = arcsin(-3/7) + 2n, x = - arcsin(-3/7) + 2n , eller

(2) x = - arcsin(3/7) + 2n, x = + arcsin(3/7) + 2n

Två arcusuppgifter finns på nästa sida (Övn. 5B).

Övning 5B




(a)    Lös följande ekvation:

4sin2x - 12sinx + 2cosx - 3 = 0
(b)    Bestäm arean av cirkelsegmentet A uttryckt i radien R och höjden h.
(Använd arcsin-funktionen).