2B : Lösning av tredjegradsekvationer.


Om man känner till ett nollställe, x=a, till ett tredjegradspolynom P(x) och dividerar polynomet med x-a, kommer resttermen att bli 0 och man får en faktorisering av polynomet:
P(x) = (x-a)Q(x)
där Q(x) är ett andragradspolynom.

Ex: G(x) = x2 - 2x -3 = 0  för x= -1 vilket svarar mot att (x+1) är en faktor i G(x):
G(x) = x2 - 2x -3 = (x+1)(x-3).

Därmed kan man lösa tredjegradsekvationen P(x)=(x-a)Q(x)=0 fullständigt eftersom man alltid kan hantera andragradsekvationer.
(Detta är en metod som man har viss hjälp av i Test 2 !)

Det finns en metod att gissa heltalsrötter till polynomekvationer.

Om rotgissningar

Om man misstänker att det finns heltalslösningar till en polynomekvation kan det löna sig att titta på konstanttermen i ekvationen.
Vi exemplifierar med en tredjegradsekvation.

Betrakta ekvationen:
(*)     x3 - 2x2 - 13x - 10 = 0.

Man inser att produkten av ekvationens tre rötter måste vara 10.
Ty, om rötterna är a, b och c, kan ekvationen (*) skrivas
(**)     (x-a)(x-b)(x-c) = 0    eller    x3 - (a+b+c)x2 + (bc+ac+ab)x -abc = 0.
Jämförelse mellan (*) och (**) (och särskilt deras konstanttermer) visar att abc=10.

Därmed kan man välja lämpliga kandidater till heltalslösningar av (*) bland faktorerna i 10 = 1.2.5.
Även motsvarande negativa tal: -1, -2, -5 är naturligtvis också tänkbara.
Det visar sig att ekvationen (*) har rötterna -1, -2 och 5.

Observera att metoden bygger på att koefficienten för den ledande termen (i exemplet: x3) är 1.
Däremot kräver metoden inte att alla tre rötterna är heltal.



Slutsats

Tänkbara heltalsrötter finns bland faktorerna (positiva eller negativa) i ekvationens konstantterm, om denna är ett heltal.
Om du känner dig mogen att tillämpa dessa kunskaper finns här några lämpliga övningar:

Övning 2B

Bestäm alla reella rötter till följande ekvationer:

(a)     x3 + 3x2 - 16x - 48 = 0

(b)     x3 - 5x2 - 11x - 21 = 0

(c)     x3 + 9x2 -+19x - 4  = 0