Under vecka 38 handlar det till att börja med om determinanter:

2.1  The Determinant Function.

2.2  Evaluating Determinants by Row Reduction.

2.3  Properties of the Determinant Function.

Som synes ingår avsnitt 2.4 inte i kursen.

Däremot ingår följande stoff ur kapitel 3, Vectors in 2-space and 3-space, i veckans planering:

3.1  Introduction to Vectors (Geometric).

3.2  Norm of a Vector, Vector Arithmetic.

3.3  Dot Product; Projections.

2.1  The Determinant Function.

Här definieras determinanten för en kvadratisk matris A, det(A). Talet det(A) beräknas alltså som en summa av elementära produkter av A:s element där tecknet framför varje produkt bestäms av vilken sorts permutation (jämn (ger +) eller udda (ger -)) produkten svarar mot. Dessa begrepp förklaras närmare på s. 81-83. I figure 2 nederst på s. 83 ges en sorts grafiska räkneregler för beräkning av determinanter för 2x2- och 3x3-matriser. Man känner nu igen nämnaren ad-bc i uttrycket för inversen till en 2x2-matris (Thm 1.4.5 ,s.43) som en determinant. I specialfallet 2x2 gäller alltså att determinanten för A inte får vara 0 om inversen A-1 skall existera. Det visar sig senare att detta villkor gäller för alla kvadratiska matriser. Notera också påpekandet på s. 84 att definitionen av determinanten av en nxn-matris innehåller så mycket som n! ( = n.(n-1)...3.2.1 ) stycken termer. För någorlunda stora tal n blir detta ett oerhört stort uttryck som inte ens kraftfulla datorer klarar av på rimlig tid. Behovet är alltså stort av smidigare beräkningsmetoder för determinanter. En sådan metod visas också i avsnitt 2.2.

Begrepp Permutation och elementär produkt s.80-81 Determinant s.81

Hemuppgifter 6 8 11

2.2  Evaluating Determinants by Row Reduction.

I Thm 2.2.1 ges några användbara determinantegenskaper: (a)Om A har en nollrad så är det(A) = 0. (b) det(A) = det(AT). I Thm 2.2.2 formuleras utgångspunkten för avsnittets metod att beräkna determinanter: Om A är en trappstegsmatris, är det(A) = produkten av diagonalelementen. Detta inses faktiskt så här lätt: Den enda elementära produkt (från en trappstegsmatris) som inte nödvändigtvis innehåller en nolla som faktor är produkten av diagonalelementen. P.g.a. Thm 2.2.2 verkar det som en rimlig metod att först med Gauss-elimination reducera matrisen till trappstegsform och sedan bestämma determinanten genom diagonalprodukten. Detta förutsätter dock att man i detalj vet hur de olika radoperationerna i Gauss-eliminationen påverkar matrisernas determinanter. Satserna Thm2.2.3 och 2.2.4 utgör en utredning av just detta problem. Sammanfattningsvis: (a) En rad (eller kolumn) multipliceras med k : det(A) -> k.det(A) (b) Två rader (eller kolumner) byter plats : det(A) -> -det(A) (c) Rad(i) -> Rad(i) + k.Rad(j) : Determinanten oförändrad. Dessa egenskaper ger tillsammans en användbar metod som visas i Example 5. Studera detta exempel! Som en följd av tidigare formulerade determinantegenskaper får man resultatet att om två rader (eller kolumner) i A är proportionella mot varandra (Rad(i) = k.Rad(j) ex.vis) så är det(A) = 0. (Thm 2.2.5 s.89)

Satser och metoder Thm 2.2.1: Om A har en nollrad, så det(A)=0. det(A)=det(AT) Thm 2.2.2: Om A är en trappstegsmatris, så det(A)=diagonalprodukten Thm2.2.3-4: De tre elementära radoperationernas effekt på determinanten. Thm 2.2.5: Om A har proportionella rader, så det(A) = 0. Ex. 5: Metoden att bestämma determinanter genom reducering till trappstegsmatriser.

Hemuppgifter 2abcd 5 6

2.3  Properties of the Determinant Function.

Avsnittet handlar huvudsakligen om determinanter av matrisprodukter, det(AB). Först formuleras dock en räkneregel (överst på s. 93) som kan vara värd att lägga märke till: Antag att A är en nxn-matris. Då gäller: det(kA) = kndet(A) Här finns faktiskt en fallgrop. Det är lätt gjort att felaktigt sätta n=1 i högerledet. Relationen det(A+B) = det(A) + det(B) gäller inte. Studera dock Thm 2.3.1 som definierar en matris C som uppfyller det(C) = det(A) + det(B). Men C är som sagt inte A+B ! Thm 2.3.4 uttrycker den märkliga relationen det(AB) = det(A)det(B) Märklig, eftersom den på ett så enkelt sätt formulerar en likhet mellan två mycket komplexa uttryck. Försök gärna följa beviset för denna sats. Beviset bygger som synes på de elementära matriserna och deras determinantegenskaper. Ett mycket viktigt resultat som bevisas strax innan (Thm 2.3.3) är att villkoret   det(A) 0  är ekvivalent (likvärdigt) med en rad andra villkor för kvadratiska matriser, bl.a 'Ax = b har en unik lösning' och 'A är inverterbar'. Jämför Thm 1.5.3 (s.53) och Thm 1.6.4 (s.62) från förra kapitlet. Thm 2.3.6 i detta avsnitt ger samma lista som Thm 1.6.4 + det nya villkoret 'det(A) 0'. Avsnittet avslutas med en del fakta om egenvärden och egenvektorer. Detta kommer vi att studera mer ingående i Kapitel 7 och kan därför tills vidare hoppa över detta stycke.

Satser och metoder det(kA) = kndet(A) ,(överst s. 93). Thm 2.3.1: det(C) = det(A) + det(B) för några matriser C. Thm 2.3.3: A är inverterbar om och endast om det(A) 0. Thm 2.3.4: det(AB) = det(A)det(B) Thm 2.3.5: det(A-1) = 1/det(A) Thm 2.3.6: Listan på villkor som är ekvivalenta med 'det(A) 0',

Hemuppgifter 4bc 6 7 12

3.1  Introduction to Vectors

Kapitel 3 behandlar vektorer, en typ av objekt som närmast kan betraktas som riktade sträckor. I avsnitt 3.1 introduceras vektorerna på detta sätt. Notera beteckningssättet som avser den vektor som har sin startpunkt i A och sin ändpunkt i B. A och B är alltså här punkter (i ex.vis planet eller 3-dimensionella rummet). I planet eller rummet representeras en vektor naturligen av en pil som ju både har en given längd och en given riktning. Den vanligaste beteckningen för en vektor i denna kurs är annars u, v osv. En vektors komponenter kan ses som de koordinater vektorns ändpunkt har om startpunkten är origo. Skrivsättet v = (v1, v2, v3) anger att vektorn v har komponenterna v1, v2 och v3, i den ordningen. (I början av avsnitt 3.1 exemplifieras mest med 2-dimensionella vektorer). Om punkterna A och B ovan har koordinaterna (a1,a2) resp. (b1,b2) kan vektorn skrivas (b1 - a1 , b2 - a2) på komponentform. Observera de två viktiga vektoroperationerna addition och multiplikation med skalär (skalär = tal) samt dessas geometriska tolkning. I tolkningen av vektoraddition framträder vektorernas egenskap att vara flyttbara då man lägger den ena vektorns startpunkt i den andra vektorns ändpunkt.

Begrepp Vektorer och skalärer, s. 117 Vektorsumma u+v och skillnad u-v, s. 118-119 Produkt med skalär ku, s. 119 Koordinatsystem och komponenter, s. 120 Vektoroperationerna på komponentform, s.120-123

Hemuppgifter 2a 3be 11a 14

3.2  Norm of a Vector; Vector Arithmetic

Theorem 3.2.1 listar de viktigaste algebraiska reglerna för de operationer som infördes i avsnitt 3.1. På s. 128 införs begreppet norm för en vektor. Normen för u, , tolkas geometriskt som längden av u och blir alltså i termer av u:s komponenter (enligt Pytagoras!),     =   Om u är en 3-dimensionell vektor får formeln ett motsvarande utseende med den extra termen u32 under rottecknet.

Satser och begrepp Thm 3.2.1: Lista på algebraiska regler för vektoroperationer. Norm, s. 128 Enhetsvektor (unit vector), s.129

Hemuppgifter 1bce 3c

3.3  Dot product; Projections

Här införs det viktiga begreppet skalärprodukt (dot product). Definitionen, nederst på s. 131 är: (1)         u.v   =   Här är vinkeln naturligtvis vinkeln mellan de båda vektorerna. Denna definition leder nu till följande enkla formel (m.hj.a. cosinusteoremet, se s.132) på komponent form. (Vi antar att u = ( u1, u2 , u3) och v = ( v1, v2, v3) ) (2)        u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 Motsvarande formler gäller som vanligt i 2 dimensioner. Ur dessa definitioner följer en del egenskaper som relaterar skalärproduktens tecken till storleken på vinkeln mellan u och v (Thm 3.3.1): Positiv skalärprodukt svarar mot spetsig vinkel. Negativ skalärprodukt svarar mot negativ vinkel. Om skalärprodukten är 0, så är vinkeln rät, (dvs. vektorerna är ortogonala) Thm 3.3.2 listar några algebraiska regler för skalärprodukten. Resten av avsnitt 3.3 handlar om projektion. Boken definierar vektorn projau som projektionen av vektorn u längs vektorn a. Se figurerna på s. 136! Thm 3.3.3 visar hur projau kan bestämmas m.hj.a skalärprodukts- och normbegreppet. Lägg både märke till denna formel och till formeln för projektionens längd på s. 137-138.

Satser och begrepp Definition av skalärprodukt, s.131 Skalärprodukt på komponentform, s.133 Formeln för 'cosinus för mellanliggande vinkel', s.133 Thm 3.3.1:Vinklarna och skalärproduktens tecken Ortogonala vektorer, s.134 Thm 3.3.2: Några algebraiska regler för skalärprodukten Definition av projektion, s. 136 Thm 3.3.3: Projektionsvektorn i termer av skalärprodukt och norm Projektionsvektorns norm, s. 138 Avståndet mellan en punkt och en linje, s.138-139

Hemuppgifter 3a 4bd 6cd 8c 11 15c