Den här veckan läser vi följande avsnitt:

1.4  Inverses; Rules of Matrix Arithmetic

1.5  Elementary Matrices and a Method for Finding A^-1

1.6  Further results on Systems of Equations and Invertibility

1.7  Diagonal, Triangular and Symmetric Matrices.

  

1.4

Avsnittet börjar med en genomgång av reglerna för matrisaritmetik. Det visar sig att de flesta regler som gäller för reella tal också gäller för matriser. Observera dock det viktiga undantaget: Kommutativitet (AB = BA) gäller inte allmänt för matriser. Däremot gäller alltid associativitet: A(BC) = (AB)C. (Theorem 1.4.1.) Här definieras också det viktiga begreppet inversmatris (Inverse Matrix). Detta begrepp är tillämpligt på kvadratiska matriser. A-1, inversen till A, definieras av att A A-1 = A-1A = I, där I är den enhetsmatris (med ettor i diagonalen och nollor i övrigt) som har samma dimensioner som A. Tyvärr har inte alla kvadratiska matriser en invers. Men om A har en invers, A-1, så är inversen unik, dvs det finns bara en matris B = A-1 som har egenskapen AB = BA = I. (Theorem 1.4.4.) I Theorem 1.4.5. anges inversmatrisen A-1 till den allmänna 2x2-matrisen Resultatet är: där . Formeln förutsätter alltså att . Notera i övrigt särskilt de snarlika relationerna: (AB)-1 = B-1A-1 (Theorem 1.4.6.) och (AB)T = BTAT (Theorem 1.4.9.)

Begrepp Matrislagar s.38 Nollmatris s.40 Identitetsmatris s.41 Inversmatris s.42 2x2-matrisens invers s.43 Matrispotenser (powers of a matrix) s.44-45 Regler för transponatmatriser s.46-47

Hemuppgifter 4C 7bd 8 11

  

1.5

Avsnittet introducerar begreppet elementär matris. Grundidén är att en elementär radoperation (i en Gausseliminering) som transformerar en totalmatris A1 till en ny totalmatris A2 kan representeras av en matris E1 så att A2 = E1A1 (notera att A1 multipliceras med E1 från vänster). Om nu utgångsmatrisen A är kvadratisk och efter slutförd Gauss-Jordan-transformation efter n st radoperationer har övergått till identitetsmatrisen I, får man relationen I = En...E2E1A , där E1, E1 osv är de elementära matriser som svarar mot respektive radoperation. Man får då slutsatsen att produkten En...E2E1 överensstämmer med inversmatrisen A-1. Detta ger en metod att bestämma A-1: Placera matrisen A till vänster och I till höger (separerade av en streckad linje) i en utvidgad totalmatris. Utför sedan de radoperationer som transformerar vänstermatrisen A till I och applicera samtidigt dessa operationer på högermatrisen. När vänstermatrisen är färdigtransformerad till I, har högermatrisen transformerats till produkten En...E2E1I = En...E2E1 och är därmed den sökta inversmatrisen A-1. Med denna metod får man schemat att övergå till Därmed har man fått resultatet att är inversmatris till .

Begrepp Elementär matris s. 50 Metoden att bestämma inversmatriser, (Example 4) s. 55

Hemuppgifter 3bc 5c 6cd 9ab

  

1.6

I detta avsnitt formuleras en del viktiga fakta om linjära ekvationssystem i form av en rad satser. Först formuleras satsen om de tre fallen som kan uppstå vad gäller antalet lösningar till ett linjärt system: ingen lösning, en lösning eller oändligt många lösningar. (Theorem 1.6.1 s. 59) Denna sats utesluter alltså fallen att systemet kan ha exakt n stycken lösningar där n > 1. Beviset går ut på att visa att om det finns två olika lösningar så finns det i själva verket oändligt många lösningar. Theorem 1.6.2 utsäger att om A är inverterbar så har det linjära systemet (*) Ax = b lösningen x = A-1b. Lösningen fås ju direkt genom att man multiplicerar systemet (*) med A-1 från vänster. Detta är ju ett elegant resultat men tyvärr bara tillämpligt då systemmatrisen A är kvadratisk och inverterbar. Theorem 1.6.3 anknyter till definitionen av inversmatris. I den definitionen sägs att om B uppfyller (1) AB = I och (2) BA = I, så är B en inversmatris till A. Teoremet innebär att det hade räckt med ett av villkoren (1) och (2) i definitionen eftersom (1) alltid medför (2) och tvärtom. Theorem 1.6.4 formulerar en rad ekvivalenta villkor som alla representerar fallet med en unik lösning till (*) Ax = b där A är kvadratisk. Att (*) har en unik lösning är bl.a. ekvivalent med att A är inverterbar och att den reducerade trappstegsformen för A är en identitetsmatris. I detta avsnitt visas också hur man kan lösa flera system på en gång om dessa har samma systemmatris (Example 2 s. 61). I Example 3 s. 63 diskuteras slutligen hur man kan finna villkor på högerleden som säkerställer att systemet har någon lösning. Detta problem uppstår i samband med de system där systemmatrisen har en nollrad efter avslutad Gauss-elimination.

Satser och metoder Thm 1.6.1: Om de tre fallen för linjära system. Thm 1.6.2: x=A-1b är lösning till Ax=b, om A-1 existerar. Thm 1.6.3: Om AB=I eller BA=I så är B = A-1. Thm 1.6.4: Om ett antal villkor som är ekvivalenta med att systemet Ax=b har en unik lösning. Ett sådant villkor är att A-1 existerar. Ex. 2: Att lösa flera system på en gång. Ex. 3: Att finna villkor på högerleden för att systemet skall ha någon lösning.

Hemuppgifter 4 7 12 18

  

1.7

Avsnittet tar upp diagonala matriser, triangulära (över- och undertriangulära) samt symmetriska matriser. I samtliga dessa fall förutsätts att matriserna är kvadratiska. De diagonala matriserna är särskilt lätta att bilda potenser och inverser av. Likaså är det lätt att beskriva effekten av en multiplikation med en diagonalmatris. Denna effekt skiljer sig dock beroende på om multiplikationen sker från höger eller vänster. De triangulära matrisernas egenskaper finns listade i Theorem 1.7.1. De viktigaste är En triangulär matris är inverterbar om och endast om det inte finns någon nolla i diagonalen. Triangulära matriser behåller sin form (av över- resp. undertriangulär matris) vid invertering och vid multiplikation med en annan matris av samma form. En symmetrisk matris A uppfyller AT = A. Några egenskaper finns samlade i Theorem 1.7.2 och 1.7.3. Notera särskilt att AB inte nödvändigtvis är symmetrisk även om A och B är det. Test: (AB)T = BTAT = BA som inte säkert är lika med AB. Dock kan de vara lika (AB = BA) varvid man säger att matriserna A och B kommuterar.

Begrepp Diagonal matris s.66 Triangulär matris (samt över- och undertriangulär) s.68 Symmetrisk matris s.70 Kommuterande matriser s.71

Hemuppgifter 3b 5ab 8a