Början av kapitel 1 innehåller följande avsnitt:

1.1   Introduction to Systems of Linear Equations.

1.2   Gaussian Elimination.

1.3   Matrices and Matrix Operations.

1.1
Det viktigaste här är övergången mellan två sätt att beskriva ett linjärt ekvationssystem: Det vanliga, med variabler utskrivna: 2x + 3y = 1 3x - 7y = 2 och matrisversionen där variablernas koefficienter samt de konstanta högerleden bildar systemets totalmatris (=augmented matrix):
Som inledning till Gauss-eliminationen i nästa avsnitt bör man också lära sig de elementära radoperationerna.

Begrepp Linjärt ekvationssystem Totalmatris (Augmented matrix) Elementära radoperationer

1.2

Här finns fyra viktiga begrepp som hör ihop parvis: Med Gauss-elimination reducerar man systemets totalmatris till trappstegsform. Och med Gauss-Jordan-elimination reducerar man totalmatrisen till reducerad trappstegsform. Notera definitionerna för trappstegsmatris (villkor 1 - 3) och reducerad trappstegsmatris (villkor 1 - 4) på s. 8 En ledande etta i en rad är den etta som är det första ickenoll-elementet i raden. Exempel på trappstegsform: Exempel på reducerad trappstegsform: Gauss-Jordan-elimination drivs alltså längre än Gauss-elimination i och med att varje element ovanför en ledande etta måste vara noll i slutledet. . Vid Gauss-elimination avslutas systemets lösning med s.k. återsubstitution (back-substitution). Dessa fyra begrepp är viktiga. De två eliminationsmetoderna måste tränas in med ett lämpligt antal hemuppgifter. Notera också de tre tänkbara fallen vad det gäller antal lösningar till ett linjärt ekvationssystem: En unik lösning, oändligt många lösningar eller ingen lösning alls. Notera speciellt fallet med oändligt många lösningar. Där gäller det att kunna uttrycka de oändligt många lösningarna med hjälp av parametrar. Regeln är att om det finns någon eller några kolumner utan ledande ettor (bortsett från högerledskolumnen längst till höger) så finns det oändligt många lösningar såvida inte systemet helt saknar lösningar. Finns det oändligt många lösningar så låter man en variabel som svarar mot en kolumn utan ledande etta bli en parameter. Använd bokstäverna t,s,r osv som parameternamn. De resterande variablerna kan nu alltid lösas ut i termer av parametern (parametrarna). Observera att i det homogena fallet (då alla högerled är 0) finns det alltid en lösning, den triviala (då alla variabler får värdet 0). Man får alltså då endast två fall: En unik lösning (den triviala) eller oändligt många.

Begrepp Reducerad trappstegsform (Reduced row-echelon form) Trappstegsform (Row-echelon form) Gauss-Jordan-elimination Gauss-elimination Återsubstitution (Back-substitution) Homogent system (Homogeneous system)

1.3

I detta avsnitt studerar man matriser och deras operationer. Notera att man med hjälp av matrisoperationer kan skriva ett linjärt ekvationssystem på den enkla formen: Av = b där A är någon (ex.vis 3x3) matris som kallas systemmatrisen till systemet samt v och b två vektorer (ex.vis 3-dim.) varav v har variablerna och b högerledskonstanterna som komponenter. Av matrisoperationerna är multiplikation mellan matriser den som fordrar en del övning. Notera att matrisernas dimensioner måste passa ihop för att multiplikation skall vara möjlig. Närmare bestämt: I produkten AB måste A:s kolumnantal vara lika med B:s radantal. Och: Om A är en (mxn)-matris (m rader och n kolumner) och B en (nxp)-matris, så blir AB en (mxp)-matris. Lär dig också om transponat (transpose) som skrivs AT och betyder att A:s rader och kolumner byter plats. Begreppet spår (trace) ingår också i avsnittet. Spåret av A, tr(A), är lika med summan av A:s diagonalelement. A måste här vara en kvadratisk matris.

Begrepp Matris och element (matrix and entry) Matrisaddition Multiplikation med skalär Matrismultiplikation Transponat (transpose) Spår (trace)

Nästa avsnitt