loesningar till 627 och 628

Lösningar

Förklaringar läggs ibland in inom hakparentes i kedjan av likheter:
... = [förklaring ] = ... .

627
Vi använder variabeln x i stället för 'theta'.

cos4x = Re(e^4ix) = Re (e^ix)⁴ = Re (cosx + isinx)⁴ = [ i-termerna tas ej med ] =
cos⁴x - 6cos²xsin²x + sin⁴x = [ sin²x = 1 - cos²x ] = cos⁴x - 6cos²x(1 - cos²x) + (1 - cos²x)² =
cos⁴x - 6cos²x + 6cos⁴x + 1 - 2cos²x + cos⁴x = 8cos⁴x - 8cos²x + 1 = [ cos²x = (1 + cos2x)/2 ] =
8cos⁴x - 4(1 + cos2x) + 1 = 8cos⁴x - 4cos2x - 3,

V.S.B.

628a)
Utnyttja sambandet (1 + i)² = 2i.
(1 + i)¹⁰⁰ = ((1 + i)²)⁵⁰) = (2i)⁵⁰ = [ enligt de Moivre, 2i = 2e^i/2 ] = 2⁵⁰(cos50/2 + isin50/2) =
2⁵⁰(cos( + 24) + isin( + 24) = 2⁵⁰(cos + isin) = 2⁵⁰(-1 + 0) = -2⁵⁰
V.S.B

628b)
(1 + i)¹⁰⁰ = (2i)⁵⁰ = 2⁵⁰(i²)²⁵ = 2⁵⁰(-1)²⁵ = 2⁵⁰(-1) = -2⁵⁰
V.S.B.