Ex 1

Betrakta den linjära differentialekvationen

Bestäm den lösning som uppfyller y(0) = 1, y '(0) = 0.

y_H:

Karakteristiska ekvationen
r² + 4r + 4 = 0
har dubbelroten r = -2, vilket ger
y_H = (At + B)e^-2t

y_P:

Högerledet är 2t + 7, ett polynom av grad 1.

y_P bör därför vara av typ t^m (at + b),
m = 0,1 eller 2.
Eftersom ingen av termerna i ansatsen at + b ingår som termer i y_H
skall man enl. Adams välja m=0.

y_P = at + b, ger y '_P = a, y ''_P = 0.

Insättning i (1) ger
4a + 4(at + b) = 2t + 7.

Identifiering ger: 4a = 2 och 4a + 4b = 7 vilket ger a = 1/2, b = 5/4.

Alltså, y_P = t/2 + 5/4.

Ekv. saknar inte y : m = 0

Ekv. saknar y men inte y ': m = 1

Ekv. saknar både y och y ': m = 2.

Den allmänna lösningen
y = y_H + y_P blir alltså
y = (At + B)e^-2t + t/2 + 5/4,
varav y ' = (A -2At - 2B)e^-2t + 1/2
y(0) = 1 ger B + 5/4 = 1, B = -1/4
y '(0) = 0 ger A - 2B +1/2 = 0, A = -1.

Svar:
y = (-t - 5/4)e^-2t +t/2 + 5/4.

Ex 2

Betrakta den linjära differentialekvationen

Bestäm den allmänna lösningen.

y_H:

Den karakteristiska ekvationen
r² + 4r = 0
har lösningen r₁ = 0, r₂ = -4
varav y_H = A + Be^-4t

I ansatsen y_H = t^m (at + b)
får man här välja m=1, eftersom konstanttermen b
svarar mot konstanttermen A i y_H.

Alltså: y_P = at² + bt,
y '_P = 2at + b och y ''_P = 2a
ger, insatt i (2):

2a + 8at + 4b = 3t + 5, varav
a = 3/8, b = 17/16.

Denna extra t-faktor, som motiveras av överensstämmelsen mellan ansatsen och homogena lösningen y_H, innebär ett slags resonans-fenomen.
Motsvarande fenomen då högerledet är en sinus- eller cosinussvängning leder till en partikulärlösning y_P med linjärt växande amplitud (t sin wt) vilket är det traditionella resonansfenomenet.

Svar: y = y_H + y_P = A + Be^-4t +3t²/8 + 17t/16.