Om tillämpningar i matematikundervisningen.

Här föreslås att olika tillämpningsinslag läggs i anslutning till matematikämnet såväl inom som utom ramen för detta,
i första årskursen dock huvudsakligen utom ramen för den ordinarie matematiska undervisningen.
Dessutom påpekas vikten av att göra undervisningen mer individualiserad..

Insikten att matematiken är användbar i olika tillämpningar är en viktig motivationshöjande kraft vid inlärningen av matematik. Men, av skäl som redovisas här nedan bör tillämpningsinslagen hanteras olika i olika årskurser.

Det matematikintensiva första året är på många sätt speciellt. Eleverna utsätts för en kraftig kulturchock och känner ofta en viss frustration. I Gunnel Romans intervjuer med kvinnliga teknologer [16] (framförallt avsnitten 3.2 och 3.5) anges den höga studietakten och anonymiteten som de främsta källorna till problem, men också ansamlingen av tunga teoretiska ämnen nämns av flera. Här saknar de intervjuade dock inte i första hand motivationshöjande tillämpningar utan efterlyser snarare en breddning av kursutbudet med fler humanistiska inslag.

Studietakten går kanske inte att göra så mycket åt med tanke på förutsättningarna (ojämna och ofta bristfälliga förkunskaper samt målsättningen att om möjligt bibehålla den matematiska nivån på KTH). Men ett försök till något ökad individualisering av undervisningen och till något minskad kulturell isolering av matematikämnet kunde vara på sin plats. Inom ämnet råder som nämnts tidsbrist, men en något större användning av inlämningsuppgifter (helst individualiserade samt med eller utan datorinslag) skulle ge tillfälle för eleven att visa upp ett resultat för en lärare och få ett personligt svar. Web- och epost-mediet kan också utnyttjas för att öka kontaktmöjligheterna lärar-elev och också mellan matematiken och yttervärlden. Att i organiserade former använda den matematiska undervisningstiden till att presentera olika kommande tillämpningar är dock tyvärr orealistiskt under de rådande förutsättningarna. Däremot kan man naturligtvis försöka bredda övningsuppgiftsmaterialet i programspecifik riktning, åtminstone till den nivå som rådde på KTH före den stora sammanslagningen av matematikkurser. Här är också bidrag från tillämpat håll inom T-programmet välkomna.

Å andra sidan måste vi se undervisningsinslag utanför åmnet som på olika sätt visar upp behovet av matematik som oerhört värdefulla Det har väckts förslag om en projektkurs som skulle sträcka sig genom flera årskurser ([6] och [15] ), där matematisk expertis vid behov skulle kunna användas som konsulter. Det finns även förslag om att vissa ämnen förlägger delar av sin undervisning i årskurs 1 just för att understryka symbiosen mellan matematiken och tillämpningarna. (H.P. Wallin). Detta är utmärkta förslag men fordrar mycket noggrann planering för ett lyckat utfall. Om en projektkurs går att arrangera skulle en sådan ha den fördelen framför det andra förslaget att den samtidigt utgör en välgörande kontrast - både till innehåll och arbetsform - till de tunga teoretiska ämnen som eleverna samtidigt möter.

I årskurs 2 och 3 ligger matematikämnena närmare tillämpningarna. Samtidigt är det där lättare att ny- resp- omplanera kurser med sikte på samverkan med andra ämnen. Det gäller framförallt den föreslagna nya PDE-kursen Kurs X samt kursen i vektoranalys där visst utrymme uppstår om tensorkalkyldelen flyttas till hållfasthetslära.
Här borde möjligheten utnyttjas att skapa större kontakt mellan denna matematik och relevanta tillämpnmingar.

Som påpekas bl.a. i [10] är det mycket viktigt att matematikkunskaperna följs upp i högre årskurser och där verkligen används i de tillämpade ämnena. I samma dokument föreslås (punkt 13) att vissa teknikämnen skulle kunna ta som ansvar att vårda vissa delar av matematiken inom sin undervisning. Detta eller andra liknande åtgärder kan varmt rekommenderas.

Slutligen: Efter allt tal om tillämpningar kan det vara på sin plats att hävda matematikens existensberättigande även fristående från eventuella tillämpningar. Matematiken kan ses som ett språk vars behärskande ger ökad potential att tillgodogöra sig ny kunskap överhuvudtaget. Och matematiken har en allmängiltighet som sträcker sig utöver den enskilda tillämpningen. En derivata tolkas i mekaniken vanligen som en hastighet, men kan också ses som en lutning, en marginalkostnad eller en koncentrationsförändring. Det ankommer på matematikämnet att lära eleven att upptäcka det generella i de tillämpade begreppen.

Om en tyngdpunktsförändring i matematikinnehållet

Här instäms i stort sett med gruppens synpunkter om inriktning på förståelse och begreppsmässiga fundamenta.
Dock understryks vikten av att inte helt överge den kalkylmässiga delen av matematiken samt att examinationsformerna bör kunna varieras något mer än tidigare.
Slutligen varnas för alltför ensidig användning av gruppexamination o. likn.

Inom gruppen har höjts röster som förordat större inriktning på förståelseaspekten samt större fokusering på begreppsmässiga fundamenta snarare än manuella beräkningsfinesser.
Dessa delvis överlappande synpunkter framförs ganska ofta då matematikundervisningen diskuteras och den svarande parten, matematikläraren, hamnar ofta på defensiven. Låt oss då först konstatera att de flesta matematiklärare troligen i stort sett delar dessa synpunkter. Om undervisningen ändå i praktiken tycks ytligt kalkylinriktad beror det kanske på att lärarnas ambition att få eleverna att klara kursens skriftliga tentor som ofta anklagas för just ytlig kalkylinriktning. Till dessa tentors försvar kan följande anföras:

• Kalkylelementet i matematiken rymmer matematisk kompetens som faktiskt är oundgänglig för förståelse och användande av det matematiska språket. Övning i kalkyler ger en övning i matematisk grammatik.
  En vanlig iakttagelse är att vissa föregivna räknefel ofta avslöjar djupare matematiska vanföreställningar.
• Vanligt förekommande kalkyler ( primitiv funktionsframtagning, Laplacetransformering osv) ska inte enbart bedömas efter sin förekomst i moderna tillämpade problem utan fyller också en roll som övningsfält för formelanvändning i allmänhet.
• Historiskt sett har dessa delar ofta favoriserats i tentamina p.g.a. möjligheten att konstruera en stor mängd inte helt förutsägbara tentamensproblem inom dessa områden.
  Andra, mer förståelseinriktade områden, inrymmer istället ofta ett begränsat antal problem (professorns tre favoritresonemang) som redan efter några år är förstörda som tentamensproblem p.g.a. sin förutsägbarhet.
• Även om inte alla vill erkänna det ligger det en viss njutning i att manuellt behärska en kraftfull kalkyl. De elever som lyckats bemästra integration av elementära funktioner brukar inte klaga på dess ytlighet.

Nu måste påpekas att mattetentorna inte alltid lever upp till sitt rykte som exercisfält för råräknare.
De senare årens tentor i komplex analys måste exempelvis betraktas som utmärkta kombinationer av icketriviala kalkylproblem och kreativa teorianknutna problem.

Dock finns det naturligtvis också grund för kritiken mot tentorna och den därmed relaterade bristen på förståelsedjup.

Här finns förmodligen två (varandra icke uteslutande) vägar att gå:

• Mer kreativa tentor, i stil med komplexanalysens.
• Mer varierade examinationsformer, där olika examinationstyper testar olika aspekter av ämnet.
  Individualiserade inlämningsuppgifter är en tänkbar, redan utprovad, modell.
  I IT-avsnittet nedan ges förslag på en modell, s.k. kompetensportföljer, som eventuellt kan ge incitament till alternativ examination.
  I avsnittet om icke-teknisk kompetens redogörs för ännu en annan modell med större tonvikt vid muntlig och skriftlig framställning.

Slutligen måste varnas för en alltför löslig examinationsstil som kan tillåta icke ansvarstagande elever att slinka igenom alltför lättvindigt. Detta är ett problem som kan stjälpa ett i övrigt vettigt upplagt program, eftersom systemet riskerar att få en ohederlighetsstämpel som leder till en allmän motivationssänkning.

Om IT-stödd undervisning

Här föreslås ett utvidgat IT-stöd för kurserna i form av kurshemsidor och ev. även i form av s.k. kompetensportföljer utformade av eleverna själva.

Försök i denna riktning pågår nu i matematikundervisningen för Media och planeras fortsättas i anslutning till Swedish Learning Lab.

Man kan så här långt urskilja två nivåer av IT-stöd då det gäller matematikundervisning på universitetsnivå i Sverige. (Då avses inte större satsningar på multimedia o.likn. utan snarare det stöd som lokalt erbjuds av kursledaren via nätet).
Dessa nivåer illustreras i [17] .
Med nivå 1 avses den vanligaste modellen där den kursinformation som tidigare distribuerats i pappersform nu också eller istället läggs ut på nätet.
Nivå 2 utgörs av de försök att ge litet mer nätspecifikt stöd m.hj.a. hypertextlänkar, grafik (ev. animationer) och ett tätare informationflöde i form av ofta uppdaterade kurshemsidor ( i [17] står den vänstra kolumnernas länkar i stort sett för nivå 1 och den högra för nivå 2)).

Vad nästa nivå kommer att innehålla får väl framtiden utvisa.
Här är dock ett konkret förslag som kommer att utprovas på studenterna i den nya medietekniklinjen i samband med deras Diff&Int-kurs kommande läsår.

Eleverna kommer att uppmanas att samla på information om ämnet (ex.vis diff&int) som de hittar på nätet. En del av denna information kan de få via kurshemsidan, en del kan de framställa själva som textfiler, html-dokument, maple-worksheet etc.
Poängen är att denna insamling av fakta delvis ska kunna ersätta de vanliga sammanfattningar av ämnet som ordentliga elever förr gjorde för hand inför tentorna. En annan poäng är att denna information nu lätt låter sig sparas. Den kan nämligen läggas upp och struktureras via hypertextlänkar (inte helt olikt det här dokumentet) på elevens egen hemsida. Och därmed kan relevant information ligga kvar även efter kursens slut. Under utbildningens gång växer så fram en samling sådana informella databaser, en för varje ämne, som tillsammans bildar en kompetensportfölj vilken borde utgöra en verklig tillgång för den nye civilingenjören ute i yrkeslivet (i skarp kontrast till den låda med gamla kollegieblock och oläsliga kompendier man själv fick som minne av KTH-studierna).

Om detta görs på rätt sätt borde inläsningen av ett ämne rimligen framstå som mer motiverande eftersom målet inte bara är att klara en tenta utan också att spara användbar information för framtiden.

En illustration till denna idé (facket Komplex Analys) finns i [18]. En tänkbar alternativ examinationsform vore att ge en elev (individuell uppgift) i uppdrag att sammanfatta någon kursdel på ett begripligt sätt och lägga ut det på nätet.

Den enskilde elevens kompetensportfölj är annars tänkt att vara ett individuellt redskap med enda mål att ge eleven ifråga individuellt stöd. Dock kan intressanta effekter uppstå om portföljerna helt eller delvis görs tillgängliga för en större grupp.

I samband med de progress tests som föreslagits i gruppen ( [4] och [5] ) skulle en välskött kompetensportfölj spela en viktig roll eftersom hypertexttekniken väl lämpar sig för korsreferenser mellan olika ämnen.

Om icke-teknisk kompetens

Här redovisas en kurs i diskret matematik med en för matematikinstitutionen ovanlig uppläggning där utöver matematisk förmåga även testas muntlig och skriftlig framställning.
Detta med anledning av den mycket kraftiga markering av vikten av sådan kompetens som gjorts av industrirepresentanterna i arbetsgruppen ( [12] ).

Under vt 99 gavs en kurs i Diskret Matematik, 8p, för D, med en något originell uppläggning. Kursens hemsida finns som referens [19]. Där framgår att vid sidan av den traditionella undervisningen (föreläsningar och övningar) ordnades även seminarier där eleverna muntligt redovisade mindre uppgifter. Dessutom förekom uppsatser som skulle skrivas om delmoment av kursen och där de formella kraven var ovanligt hårda, men noggrant specificerade i förväg.
Kursen blev mycket uppskattad även om elevernas ovana vid skriftlig framställning visade sig ganska tydligt. Den var naturligtvis arbetskrävande både för lärare och elever, men exemplet gav klar mersmak. Tyvärr kommer kursledaren, Kimmo Eriksson, nu att lämna KTH så någon fortsättning kan inte garanteras.

Denna kurs omnämns här också p.g.a sitt innehåll, som numera framstår som eftertraktat av datatekniker och likn.
En sådan kurs borde även kunna knytas till någon T-kompetensinriktning.