Linjära och olinjära transformationer

Koordinattransformationer kan visualiseras genom att man undersöker hur transformationen avbildar räta linjer.

Vi undersöker transformationen u=x2 - y2, v = 2xy.

Man kan visa att den avbildar både vågräta och lodräta linjer på liggande parabler.

Transformationens Jacobimatris:
Vi undersöker hur nedanstående rutmönster avbildas.

Notera att lodräta linjer är röda och vågräta gröna.

 Här ser man hur de räta linjerna transformeras till parabler.

Det inramade området ser ut ungefär som (om fler linjer/parabler ritas ut) avbildningen till höger.

Nedanstående mönster visar hur en linjär transformation kan avbilda linjer.
Huvudregeln är att räta linjer går till räta linjer.
Lokalt är vilken som helst differentierbar transformation lik en linjär transformation.

Det visar sig att den linjära transformation som efterliknar en allmän transformation bäst i en punkt representeras av dennas Jacobimatris i punkten.