Vanliga MacLaurin-utvecklingar.

Observera hur släktskapen mellan ex
och sin x, cos x
visar sig i deras MacLaurin-utvecklingar.
Dessa utvecklingar uppfyller den kända
Eulers formel: eix = cosx + i sinx .
Då antar man att den komplexa räkneregeln i2 = -1
används inne i MacLaurin-utvecklingarna. 


  Sätter man a = -1 erhålles utvecklingen av 1/(1+x) som
ett specialfall av binomialutvecklingen.

Men man kan också använda observationen att 1/(1+x) är summan av den geometriska serie vars första term är 1 och
 vars kvot är -1.
 
  
 
 
Ett väsentligt drag i teorin för MacLaurin-  (och Taylor-) utvecklingar
 är att resttermerna kan visas vara av samma storleksordning som den först försummade termen.
 
 Detta följer av kontinuitetsvillkoren på f:s derivator och leder till att
 en funktions Taylorutveckling kan visas vara unik.

 Dvs. om man funnit en utveckling vars resttermer har rätt storleksordning relativt funktionen
  f(x) i en omgivning av x=a, så är den funna utvecklingen f:s Taylorutveckling
  omkring x=a.
  
  
  
MacLaurinutvecklingarna kan fortsättas till oändliga serier som konvergerar för vissa x.

  MacLaurinserierna för ex, sinx och cosx visar sig exempelvis 
  konvergera för alla x.

  Därmed kan dessa MacLaurin-serier fungera som  definitioner (inom
  seriernas konvergensintervall) av motsvarande elementära funktioner.