Veckans uppgifter 6.FV3.

Uppgifter från AMII, Övningsboken samt stencilen MKV (Minstakvadratmetoden).

701ab, 702ab, 704a

IL2:5de
OH6.1 		Taylorutvecklingar.

Taylorutvecklingar har ju använts tidigare i kursen och kan sägas vara kursens huvudpersoner i och med att de så tydligt knyter ihop de linjära objekt (tangentlinje, tangentplan, linjär transformation svarande mot Jacobimatrisen i punkten), som definieras av utvecklingarnas linjära delar, med motsvarande analytiska objekt, funktionen själv.

Här gäller det bara att utföra Taylorutvecklingar i några fall. Utvecklingen för det viktiga specialfallet, R2 - R - funktioner finns på s. 134 i AMII.

[701-702] (R2 - R - fallet)
[ IL2:5de] (R2 - R2 - fallet)

[704] är en övning på ordo-symbolen. I flervariabelfallet blir beloppet av Taylorutvecklingarnas restterm av typen O(rn), där 'r' i detta fall svarar mot avståndet mellan utvecklingspunkten (a,b,..) och den variabla punkten (x,y,...).
Ofta används i stället den grekiska bokstaven 'rho' här.

801bdhkmp, 802b

812bde

IL2:6ab
OH6.2

Lokala extremvärden. Här studerar man Taylorutvecklingarnas kvadratiska termer för att få upplysning om karaktären på de stationära punkterna.
(De stationära punkterna är de för vilka alla partiella förstaderivator är 0. I fallet R2 - R - funktioner svarar detta mot vågrätt tangentplan.)
I praktiken löser man alltså system av typen fx=0, fx=0,
för att få tag på de stationära punkterna.
Därefter bestämmer man de partiella andraderivatornas värden i varje stationär punkt.
Dessa värden ger för varje stationär punkt en kvadratisk form, definierad av Hessematrisen, eller Hessianen, Hessianen är symmetrisk eftersom fxy = fyx .
Denna kvadratiska form utgör (dividerad med 2) Taylorutvecklingens kvadratiska del.

Diagonalisering av Hessianen visar oftast vilket tecken den kvadratiska formen får i en omgivning av den stationära punkten. Det blir alltså egenvärdena , som ju är koefficienter för de kvadratiska termerna, som fäller utslaget.
Ex (i tvåvariabelfallet med h=x-a och k=y-b som lokala variabler omkring den stationära punkten (a,b):
Diagonaliserad form= 2h2 + 3k2 (egenvärden =2,3, båda positiva). Lokalt min.

Diagonaliserad form= 2h2 - 3k2 (egenvärden =2,-3, olika tecken). Sadelpunkt.

Diagonaliserad form= -2h2 - 3k2 (egenvärden =-2,-3, båda negativa). Lokalt max.

Däremot, om ett egenvärde=0:
Diagonaliserad form= 2h2 (egenvärden =2,0 ). Ingen slutsats. Högre ordningens termer i Taylorutvecklingen måste undersökas.

Om det finns många stationära punkter kan det vara praktiskt att samla andraderivatorna i en tabell och använda 'AC-B2-metoden'. (OH6.2).

[801, 802b, IL2:6ab] (Tvåvariabelproblem. 802b är litet svårare eftersom ett egenvärde där är 0. Se ledningarna!)
[812] Trevariabelproblem. Bilda kvadratiska formens matris och bestäm egenvärdena!

815, 816ac, 819a, 822ab
824

8.17b, 8.19a, IL2:5c

838abfh
IL2:6cd
OH5.6-7 (matrisnorm)
OH 6.3

Bivillkor (Lagranges metod), matrisnorm och globala max och min.

Extremvärdesproblem med bivillkor studeras med Lagranges metod.
I OH 6.3 finns en geometrisk förklaring till metoden som bygger på att två grasdienter är parallella i en stationärpunkt. Försök förstå den!
Man får i Lagranges metod ett ekvationssystem med bl.a. variabeln lambda.
Eftersom vi här inte behöver veta värdet på lambda löser man stystemet enklast genom att först eliminera lambda.
[815-824] (även del av IL2:6d).

Bestämning av matrisnorm är ju ett exempel på ett maxproblem med bivillkor. (OH5.6-7). Men här finns också en algebraisk lösning som oftast är den enklaste.
[8.17b, 8.19a, IL2:5c].

Globala max och minproblem innebär att man bestämmer största och minsta värdet för en funktion på ett visst område.
Oftast gäller det en kontinuerlig funktion på ett slutet, begränsat (=kompakt) område.
I det fallet finns det en sats (AMII s. 33) som säkerställer att det finns ett största och ett minsta värde.
Här bestämmer man ev. stationära punkter och kontrollerar om de ligger i det givna området.
Man behöver dock inte undersöka karaktåren på de stationära punkterna eftersom man bara behöver jämföra funktionsvärdena för de erhållna eventuella max/min-punkterna.
Finns det singulära punkter (där derivatorna inte existerar, som i Projektuppgiften!) måste även dessa sparas till jämförelsen mellan funktionsvärdena.
Slutligen måste även områdets rand undersökas. Om denna består av flera räta linjer får man ta fram ekvationerna för dessa linjer och i tur och ordning sätta in dessa i funktionen varvid man ofta får ett envariabelproblem i ett begränsat intervall.
Glöm då inte hörnen!
I andra fall kan man ta hjälp av Lagranges metod vid undersökningen av en randkurva.
[838abfh ,IL2:6cd].


MKV: 1.1e,1.3e, 1.1h, 1.3h, 1.9

IL2:6e
OH6.4 		Minstakvadratmetoden. Dessa problem kan lösas algebraiskt med normalekvationer eller analytiskt som ett minimeringsproblem i flera variabler.
Den algebraiska metoden leder dock normalt till enklare räkningar och rekommenderas därför. Se OH 6.4 för att förstå gemetrin i problemet eller se figuren på första sidan av MKV.

[MKV 1.1e,1.3e, 1.1h, 1.3h, 1.9 , IL2:6e]