X: 2,5,6 (från Xtrauppg.)

7.2a s.205

7.3bc, 7.5 s.210

Uppgifterna här består i att lösa problem i samband med koordinatbyten.
Man definierar linjära koordinatbyten genom att ange en linjär relation mellan
de gamla basvektorerna {e₁, e₂,... }
och de nya {f₁, f₂,...}.
Denna relation defimiera av transformationsmatrisen C. (s. 203 i LGA)
OBS! Studera detaljerna i definitionen av C eftersom det är lätt gjort att få fel komponenter i C.

Om x_e och x_e är en vektors komponenter i det gamla resp. nya systemet får man relationen:
x_e = Cx_f.
[Xtrauppg.]
Vill man istället ha x_f uttryckt i x_e får man alltså invertera C.

En matris A i gamla systemet (A_e) resp. nya systemet (A_f) uppfyller
A_f = C^-1A_eC.
vilket behövs i uppgifterna [7.3 - 7.5].

En viktig typ av de linjära koordinattransformationerna är ON-transformationer, som innebär stela vridningar (+ ev. en spegling).
Dessa transformerar ON-baser till ON-baser, dvs baser där basvektorerna är normerade och inbördes ortogonala.
[7.2a, IL2:3a].

7.7, 7.9bef, 7.11, s.220
7.21, 7.22, s.228

IL2:3b-e

Här lär man sig lämpligen först hur man bestämmer egenvärden till en kvadratisk matris genom att lösa matrisens karakteristiska ekvation. (OH5.2).
Egenvektorerna svarande mot vissa egenvärden erhålles genom att man löser det linjära homogena system som svarar mot egenvärdet ifråga.
Detta system har oändligt många lösningar.
Om lösningarna kan uttryckas med en parameter: (x,y,z)=t(a,b,c)
är vilken som helst av vektorerna t(a,b,c) egenvektor. Man kan ex.vis välja t=1.
Om det behövs två parametrar för att uttrycka lösningarna (su + tv)
är på motsvarande sätt alla vektorer su + tv egenvektorer.
Man kan då välja två linjärt oberoende egenvektorer bland dessa. [7.7, 7.9bef, 7.21, 7.22 IL 3b-d]. I 7.9f förekommer två komplexa egenvärden som inte behöver behandlas.
I 7.22 förekommer ett dubbelt egenvärde som ger upphov till egenvektorlösningar med två parametrar enl. ovan.
Det krävs här att man väljer två inbördes ortogonala egenvektorer till detta dubbla egenvärde.
(välj först en egenvektor och bestäm sedan s och t i su + tv så att den senare vektorn blir ortogonal till den första.)

Om en 3x3-matris har tre linjärt oberoende, reella egenvektorer (vilket dock inte alltid gäller) kan man bilda matrisen P med dessa egenvektorer som kolumner.
Det visar sig då att matrisprodukten D = P^-1AP är en diagonalmatris med egenvärdena i diagonalen.
Man säger att A har diagonaliserats. [7.11, IL2:3e]

8.5bd,8.6bd, 8.7bdf , s.246.

8.15ace, s.259.

IL2:5ab

En kvadratisk form är ett polynom i ett antal variabler med termer av enbart andra graden.
Sådana kan skrivas på formen x^TKx, där x^T = (x,y,...) och K en kvadratisk, symmetrisk matris med så många rader som x har variabler.
Kvadratiska former kan användas för att framställa ekvationen för andragradskurvor (två variabler) och andragradsytor (tre variabler).

Eftersom symmetriska matriser alltid kan diagonaliseras av en ON-matris får man motsvarande diagonaliseringar av andragradskurvorna och andragradsytorna. Genom att studera egenvärdenas tecken kan man klassificera de olika kurvorna och ytorna. (s.245 och s. 248 i LGA).
Andragradskurvor: [8.5 - 8.7]
Andragradsytor: [8.15]
Om det också frågas efter huvudaxlarnas riktning ([8.6]), måste även egenvektorerna bestämmas.