401aceg

405ace, 407ab, 408cd

Uppgifterna 401 handlar om vektorvärda linjära funktioner.
Det är sådana funktioner som kan definieras som en produkt mellan en matris och en koordinatvektor: f = Av, där v=(x,y,..)^T.
Sådana känner man igen från den linjära algebran. Exempelvis bildar vänsterleden i ett linjärt ekvationssystem en sådan funktion.

Jacobimatrisen till en funktion bildas av de partiella derivatorna till funktionens komponenter.
Om komponenterna beror av x och y bildas första raden i Jacobimatrisen av derivatorna u_x och u_y (om u är funktionens första komponent).
Och motsvarande för andra raden och andra komponenten.

Om man sätter in koordinaterna för en punkt P i Jacobimatrisen erhålles en konstant matris A_P som alltså definierar en linjär transformation.
Denna linjära transformation kan sägas utgöra en linjär approximation i P av den givna funktionen. Denna linjära transformation förhåller sig till funktionen i P som en tangentlinje till en kurva eller som ett tangentplan till en rymdyta.

450, 451, 452a, 455
456a,457b, 461cn

IL2:1a-e

Här studeras hur byte av koordinater påverkar derivator.
Man finner att vid ett visst koordinatbyte är det ofta lätt att uttrycka derivatorna med avseende på de nya variablerna i termer av derivatorna med avseende på de gamla.
I så fall är koordinattransformationen given åt rätt håll (som i [455 , 461n]).
Oftast är dock tyvärr problemen formulerade med transformationer åt fel håll (som i de övriga listade problemen).
Man måste då kunna uttrycka exempelvis x_u, x_v, y_u och y_v i u_x, u_y, v_x och v_y.
Ett sätt att göra detta är att invertera motsvarande Jacobimatris.
Det är alltså nyttigt att här komma ihåg hur man inverterar en 2x2-matris.

Andraderivatorna [461cn] bjuder på lite svårare räkningar som bör övas på.

501bd, 505bc, 506, 509

518, 521, 528

IL2:2a-e

Precis som man kan tala om inverser till linjära funktioner (där alltså dessa inverser definieras av en inversmatris) kan man tala om inverstransformer till (differentierbara) ickelinjära funktioner från Rⁿ till Rⁿ .
Man kan hitta villkor som säkerställer att en funktion är inverterbar i en omgivning av en punkt.
Funktionens kvadratiska Jacobimatris i en punkt definierar som vi har sett en linjär approximation till funktionen i punkten.
Om denna matris är inverterbar visar det sig att funktionen själv är inverterbar i en omgivning av punkten.
Och inverterbarhet hos en matris testar man ju med determinanten
(det A = 0 <=> A är ej inverterbar).
[501 - 509]

Man löser alltså problem i flervariabelanalysen genom att plocka fram den linjära delen av Taylorutvecklingen och tillämpa linjäralgebraiska resultat på denna.

Motsvarande ideer kan också tillämpas på problemen med implicit definierade funktioner.
Man kan återföra problemet till motsvarande linjära problem där man testar om de oändligt många lösningarna till ett liggande linjärt system (fler variabler än ekvationer) kan uttryckas i termer av vissa variabler.
(Jfr IL1:6c). Motsvarande linjära system får man m.hj.a. Jacobimatriser. Om man exempelvis vill veta om x och y kan uttryckas implicit som en funktion av z i en omgivning av punkten P undersöker man determinanten av den undermatris till Jacobimatrisen i P som svarar mot x-kolumnen och y-kolumnen i systemet.
Är denna determinant skild från 0 är det möjligt att definiera x och y som funktioner av z.
[518,521,528].