2.FV1

Veckans uppgifter 2.FV1.

Uppgifter från Övningsboken i AMII + IL1.

303b, 304, 305ab

310ace.

IL1:3a

Detta avsnitt handlar dels om derivering av parameterkurvor, där man skall kunna ta fram tangentvektorn i en punkt. [303 - 305]
(Om variabeln t tolkas som tiden representerar denna vektor hastigheten i punkten då kurvan genomlöps.)

Dels handlar det också om flervariabelgränsvärden [310ace] där man skall utnyttja förkortningsmöjligheter, polära koordinater resp. polära koordinater och instängning för att bestämma gränsvärdena.
I ett av dessa tre fall existerar inte gränsvärdet.

Spiraltrappsdiskontinuiteter förekommer bland tvåvariabelfunktioner men saknar motsvarighet bland envariabelfunktioner.
Sådana kan studeras med polära koordinater eller genom att man bildar envariabelgränsvärden längs olika räta linjer genom origo. Det är när sådana gränsvärden är olika som man har att göra med en spiraltrappsdiskontinuitet.
IL1:3a är ett exempel.

415ab, 416abc, 417ab,
419ac, 420, 423, 426,

430,433

IL1:3b-e

Partiella derivator.
Partiell derivering skiljer sig mycket litet från derivering av envariabelfunktioner.
Det gäller bara att betrakta de variabler, som man inte deriverar med avseende på, som konstanter.
Detta gäller också högre ordningens partiella derivator.[415 - 417] och [423,426, IL1:3b]. I detta sammanhang får man också lära sig begreppet gradient.

De allmänna lösningarna till ordinära differentialekvationer innehåller, som vi såg i Matematik 1, integrationskonstanter ( A, B osv), som kan väljas fritt.
Partiella differentialekvationer (som innehåller partiella derivator) har däremot ofta allmänna lösningar med godtyckliga funktioner (f, g osv).
Därför är det ett naturligt problem att som i [419 - 420, 430,433, IL1:3c-e] visa att ett visst allmänt funktionsuttryck ( ex.vis u(x,y)= f(x-y)) uppfyller en viss partiell differentialekvation (ex.vis u_x + u_y = 0).

Observera att andraderivatorna i dessa fall brukar vara besvärliga i början (430,433, IL1:3e). Se till att öva tillräckligt på sådana.!
Även 432,434, 435 kan rekommenderas.

439, 440, 441, 443,
446, 448

IL1:4a-c

OH2.1 - OH2.4

Riktningsderivata och kedjeregler för flervariabelfunktioner.

Här tillämpas gradientbegreppet och skalärprodukten från vektoralgebran i det viktiga begreppet riktningsderivata.
Med hjälp av detta får man ett uttryck för tillväxten för en funktion i en godtycklig riktning v ( som skall normeras innan man multiplicerar den skalärt med gradientvektorn.)
[439-441, 443, 446]
I detta sammanhang kommer man in på flervariabelkedjeregler av typ:
F'(t) = (f(x(t),y(t),z(t))' = f_xx' + f_yy' + f_zz' = (f_x,f_y,f_z)·(x',y',z') = gradf·T
Notera särskilt att detta uttryck är en skalärprodukt mellan f:s gradient och tangentvektorn T till kurvan x=x(t), y=y(t), z=z(t). Därmed påminner denna derivata om en riktningsderivata av f i T:s riktning.
Skillnaden är att T inte är normerad.
I [IL1:4ab] skall man jämföra en riktningsderivata med en sådan derivata.
Försök förstå skillnaden!
Tänk på derivatan F'(t) som värmeökningen en humla känner då den flyger omkring i ett rum där temperaturen varierar som f(x,y,z).
I [IL1:4c] skall man veta att gradf pekar åt det håll f växer snabbast.

601ac, 606

IL1:4de

614, 615, 622, 624

OH2.5, OH2.6.

Regulära punkter och ytor samt tangentplan.
Här införs ett villkor för att en kurva skall vara regulär i en punkt (att x'(t), y'(tr), z'(t) alla skall vara skilda från 0 i punkten). Dessutom får man repetera tangentvektorn. [601ac,606].

Regulära ytor definieras enklast med att de är nivåytor till differentierbara funktioner.
Tangentplan till en yta, F(x,y,z)=C, bestäms mycket enkelt genom gradientens egenskap att vara vinkelrät mot nivåytorna.
Som tangentplanets normalvektor kan man alltså välja gradF i tangeringspunkten. [IL1:4de] övar på riktningsderivator men även på tangentplan.
I [614,615] skall man bestämma ekvationen för tangentplanet.
I [622,624] behöver man hitta en punkt på en yta som har en viss normalriktning. Detta leder här till enkla ekvationssystem (Jfr 6.12a som görs på en föreläsning.)