5B1458 Seminariekurs - Laplaceoperatorer på mångfalder
Lärare: Mattias Dahl,
dahl@math.kth.se
Tid och Plats: Tisdagar
10.15-12.00, seminarierum 3733. Första föreläsning
tisdag 13/9.
Kursbeskrivning: Denna kurs
handlar om en del av gränsområdet mellan geometri/topologi
och differentialekvationer.
En riemannsk mångfald är ett rum som lokalt ser ut som
euklidiska rummet och som är utrustat med en struktur vilken
gör det möjligt att definiera vinklar, längd av kurvor,
krökning etc. Vi ska se hur Laplaceoperatorn $\Delta$
generaliseras från det plana euklidiska rummet till riemannska
mångfalder. Teorin för Fourierserieutveckling har en
motsvarighet för kompakta mångfalder, där de
trigonometriska funktionerna motsvaras av de funktioner $f$ som
löser egenvektorsekvationen $\Delta f = \lambda f$. Mängden
av egenvärden $\lambda$ kallas mångfaldens spektrum.
Temat för kursen är sedan hur spektrum är relaterat till
mångfaldens geometri och topologi. En klassisk fråga
är om spektrum (via frekvenserna för lösningar till
vågekvationen) entydigt bestämmer mångfalden---"Kan
man höra vilken form en trumma har?". Vi ska se att svaret
på denna fråga är "nej!", olika riemannska
mångfalder kan ha samma spektrum. Trots det kan en hel del
geometrisk och topologisk information avläsas ur mångfaldens
spektrum, de enklaste exemplen är dimension och volym.
Förutom resultat av detta slag ska vi också se hur enskilda
egenvärden kan begränsas av geometriska kvantiteter.
Kursens huvudpunkter är som följer:
* Introduktion till mångfalder, Riemanngeometri.
* Några explicita beräkningar av spektrum. Exempel på
isospektrala mångfalder.
* Bakgrund i funktionalanalys, spektralteori för
självadjungerade kompakta operatorer.
* Existens av egenvärden, regularitet hos egenfunktioner.
* Geometriska begränsningar av första egenvärdet.
* Konstruktion av värmeledningskärnan samt dess asymptotik
för kort tid, samband med geometri. Asymptotik för stora
egenvärden.
Om tid finns (högst osannolikt!) även:
* Zeta-funktionen för Laplaceoperatorn.
* Laplaceoperatorn på differentialformer, koppling till topologi.
Förkunskaper: Analysens
grunder, Differentialgeometri, Fourieranalys. Något om
funktionalanalys, topologi, partiella differentialekvationer...
Kurslitteratur: Det finns
tyvärr inte någon bok som lämpar sig exakt för
denna kurs. Främst kommer vi att använda material ur
- S. Rosenberg, "The Laplacian on a Riemannian Manifold",
- I. Chavel, "Eigenvalues in Riemannian Geometry",
men även annan litteratur. Dessa två böcker är
uppställda som referenslitteratur hos bibliotekarien på
Matematikbiblioteket, KTH. Allt
nödvändigt material kommer att delas ut på
föreläsningarna eller finnas tillgängligt på
Matematikbiblioteket.
Examination: Hemuppgifter och
eventuellt en muntlig tentamen.
Föreläsningsplan: