Triangolazioni

tra topologia, geometria, algebra ed infomatica teorica




1. COMPLESSI SIMPLICIALI E VARIETA' TRIANGOLATE (Nov. 21, 2 ore)

    1. Definizioni: Simplesso, complesso simpliciale geometrico. Faccette. Complessi puri. Grafo duale.

    2. Definizioni: Spazio soggiacente. Poset delle facce. Combinatorialmente equivalente.

    3. Definizioni: Star. Link. Deletion. Suddivisione baricentrica.

    4. Obiezioni alle definizione di complesso simpliciale. In che dimensione vive? Perche’ simplessi e non ad esempio cubi? Perche’ l’intersezione di due simplessi dev’essere una faccia comune?

    5. Complesso simpliciale astratto. Come passare da un complesso simpliciale geometrico a uno astratto, e viceversa.

    6. Definizioni: Varieta’. Triangolazioni.

    7. Accenno a che cosa e’ l'omologia. Algoritmo per determinarla.

    8. Accenno a cosa e’ l’omotopia. Algoritmo per trovare il gruppo fondamentale. Word problem e teorema di Novikov. Enunciato della congettura di Poincare'.


Per approfondire:

Bjorner, Topological methods.

Edelsbrunner-Harer, Computational Topology.

Kozlov, Combinatorial Algebraic Topology.



2. NODI, SHELLINGS, E PROPRIETA' COLLEGATE (Nov. 22, 2 ore)

    1. Richiamo: Il gruppo fondamentale, word problem, teorema di Novikov.

    2. Definizioni: Nodo. Isotopia. Diagramma. Equivalenza secondo Reidemeister di diagrammi. Teorema di Reidemeister.

    3. Definizioni: Link. Diagramma a griglia. Esempi: Trifoglio, anelli dei Borromeo. Mosse di Cromwell.

    4. Come capire che due nodi non sono isotopI: Che cos’e un Invariante. Esempi. Cenni a Khovanov, Heegaard Floer homology. Il gruppo di un nodo. Algoritmo per presentare il gruppo del nodo.

    5. Stick number. Stick number della somma di trifogli. Come realizzare un nodo in una 3-palla con solo 3 lati. (Pausa)

    6. Definizioni: Shelling. Decidere se un complesso con N facce e’ shellable e’ computazionalmente NP.

    7. Teorema [Zeeman, Hachimori--Ziegler]: Se M e’ una varieta’ shellable, M e’ una palla o una sfera. Inoltre, M non contiene nodi di tre lati; ma puo’ contenere nodi di 4 lati. Teorema [Rudin] Alcune 3-palle non sono shellable. Teorema [Hachimori]: Alcune 3-sfere non sono shellable.

    8. Definizione: Vertex decomposable. Teorema: Vertex decomposable implica shellable. Teorema: Una 3-palla o 3-sfera vertex decomposable non puo’ contenere un nodo di 3, 4 o 5 lati. Ma puo’ contenere nodi di 6 lati.

    9. La congettura di Hirsch. Risultati di Santos, Provan-Billera, Adiprasito-Benedetti.


Per approfondire:

Hachimori-Ziegler, Decompositions of balls and spheres with knots consisting of few edges.

Ng-Thurston, Grid diagrams, Braids, and Contact Geometry.

Benedetti, Knot theory and robot arms.

Santos, A Counterexample to the Hirsch conjecture.



3. COLLASSI, DUALITA' E POLITOPI (Nov. 24, 2 ore)

    1. Definizione: Collasso elementare. Collassabile. Collassabile implica contraibile; Dunce hat.

    2. Importanza della sequenza scelta. Teorema [Benedetti-Lutz]: Una 3-palla con 8 vertici e 19 tetraedri collassa con alcune sequenze ma non con tutte, ed e’ l’esempio piu’ piccolo con questa proprieta’. Teorema [Cohen]. Un complesso C e’ contraibile se e solo se esiste un complesso D che collassa con una sequenza a una suddivisione di C, e con un’altra sequenza a un punto. Congettura [Zeeman]: Se C e’ contraibile e ha dimensione due, allora C x [0,1] ha una suddivisione collassabile.

    3. Algoritmi per decidere la collassabilita’: in NP. Problema del backtracking. Idea del levare “facce critiche” e proseguire.

    4. Teorema [Benedetti-Lutz]: Esiste una 3-palla non collassabile con 15 vertici e 66 tetraedri. Dimostrazione via nodi. (Pausa)

    5. Definizione: politopo. (H-politopo, V-politopo.)

    6. Politopo duale. Dualita’ per varieta’ PL. Cosa va storto per varieta’ non-PL.

    7. Dimensione e Profondita’ algebrica di un complesso simpliciale. Complessi Cohen-Macaulay. Spiegazione per algebristi della connessione all’algebra commutativa, via la corrispondenza di Stanley Reisner (e la formula di Hochster).

    8. Esercizio: Shellable implica Cohen-Macaulay. Shellable e contractible implica collapsible.

    9. Definizione di collapse depth. Teorema: Le varieta’ con collapse depth massima sono Gorenstein; sono tutte sfere, ma non tutte le sfere.


Per approfondire:

Ziegler, Lectures on polytopes.

Munkres, Algebraic Topology.

Benedetti-Lutz, The Dunce Hat and a minimal non-extendably collapsible 3-ball.

Benedetti, Discrete Morse theory for manifolds with boundary.




4. MANIGLIE E TEORIA DI MORSE (LISCIA E DISCRETA) (Nov. 25, 2 ore)

    1. Spezzamenti di Heegard della 3-sfera. Definizione: Handlebody. Teorema di Heegaard (per 3-varieta’ orientabili).

    2. Osservazioni topologiche. Ogni handlebody si spezza in una palla, unita a una o piu’ 1-maniglie. Richiamo: Shellings da un punto di vista topologico; le varieta’ shellable sono sempre sfere o palle.

    3. Definizioni: i-maniglia. Decomposizione in maniglie. Teorema [Kirby-Siebenmann]: Ogni varieta’ triangolabile si puo’ decomporre in maniglie.

    4. Come cambia l’omotopia attaccando una i-maniglia. Definizione: CW Complesso. Teorema [Mazur, Casson]: Esiste una varieta’ contraibile ogni cui decomposizione in maniglie contiene almeno una 1-maniglia.

    5. Cenni alla cancellazione di maniglie consecutive. (Pausa)

    6. Teoria di Morse classica.

    7. Connessione tra teoria di Morse classica e decomposizioni in maniglie.

    8. Teoria di Morse discreta. Aspetti algoritmici.

    9. Paragone delle due teorie di Morse nel terreno comune (varieta’ triangolabili). Ci sono triangolazioni della 3-sfera pessime a piacere.


Per approfondire:

Rourke-Sanderson, Introduction to PL topology.

Forman, A user’s guide to discrete Morse theory.

Benedetti, Discrete Morse theory is at least as perfect as Morse theory.




5. GEOMETRIA METRICA (Nov. 28, 2 ore)

    1. Tre modi di mettere una metrica su un complesso: Metrica indotta dall’embedding, metrica piecewise-flat, metrica ottenuta incollando metriche sui vari simplessi.

    2. Come la metrica fornisce informazioni combinatoriche. Esempio Uno: Il bordo di ogni politopo e’ shellable [Bruggesser-Mani].

    3. Come la metrica fornisce informazioni combinatoriche. Esempio Due: Ogni complesso tridimensionale convesso e’ collassabile [Chillingworth].

    4. Estensioni del risultato precedente. Definizione di power diagram e diagramma di Voronoi. Definizione di varieta’ tight. Teorema: Palle convesse che sono power diagram, sono shellable [Aurenhammer]. Teorema: Varieta’ tridimensionali tight ammettono una funzione di morse discreta perfetta [Adiprasito-Benedetti]. (Pausa)

    5. Definizioni: Spazi metrici. Spazi di lunghezza. Spazi CAT(0). Ogni spazio CAT(0) e’ contraibile. Teorema [Davis-januskiewicz]: Qualche 5-varieta’ CAT(0) non e’ una palla.

    6. CAT(0) con la metrica equilatera piatta. Dischi. Enunciato del teorema di Crowley.

    7. Come la metrica fornisce informazioni combinatoriche. Esempio Tre: Enunciato del Teorema di Hadamard Discreto [Adiprasito-Benedetti].

    8. Soluzione della disputa tra teoria di Morse liscia e teoria di Morse discreta: Per quanto riguarda il leggere l’omologia del complesso, la seconda e’ piu’ precisa della prima.



Per approfondire:

Burago-Burago-Ivanov, A course in metric geometry.

Adiprasito-Benedetti, Metric Geometry and collapsibility.

Ziegler, Lectures on Polytopes.