Kap. P.  Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.
Man bör ha funktionsbegreppet, s. 26, helt klart för sig. Några viktiga begrepp i samband med funktioner är:
Definitionsmängd (domain of definition, s. 26);
Värdemängd (range, s. 26);
Sammansatta funktioner, s. 35;
Inversa funktioner (behandlas först i kap 3.1, s. 172-177).

Kap. 1. Kontinuitet och gränsvärden. 

1.1  Detta avsnitt är av orienterande och motiverande karaktär. Läs Ex 1-3.

1.2-1.3  Gränsvärdesbegreppet är fundamental i kursen. Du bör förstå den formella definitionen (s. 86 och framåt), i ljuset av den informella på s. 61. Den idé som ligger bakom är inte svår.
Vänster- och högergränsvärden definieras och förklaras på liknande sätt, men man betraktar bara punkter till höger resp vänster om den givna punkten (s. 64).
Observera Sats 1 (s. 64): en funktion har gränsvärde i en punkt precis då dess vänster- och högergränsvärden i punkten existerar och är lika.
Vid beräkning av gränsvärden används gränsvärdeslagarna, s. 65.
Gränsvärde i ±oädligheten s. 70. Vertikala och horisontella asymptoter, s. 70.
Läs exempel 1.2: 1, 3-9;   1.3: 1-10.

1.4  Då man infört gränsvärden är kontinuitet nästa steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder att den har gränsvärden övwerallt och att dessa sammanfaller med funktionsvärdena. Definition 5, 6, 7, 8 och Sats 5, s. 76-77.
"De vanliga funktionerna" är kontinuerliga. Se s. 78, nedre delen. Vidare visar Sats 6 och 7 , s. 79, hur man bildar nya kontinuerliga funktioner från givna. Sats 7 är lite annorlunda. Tänkt igenom varför den gäller.
Läs exempel 1-6.
Sats 8, s. 80, är mycket viktig. Den är grunden i optimeringsproblem (max och min). Man bör förstå att satsen inte är sann, och varför, om man ändrar någon av förutsättningarna; se fig. 1,24.
Sats 9, "satsen om mellanliggande värden", används i tillämpningar för att finna rötter till ekvationer.
Läs exempel 9-11.

1.5  Frivillig läsning för den som vill veta mer om gränsvärden och kontinuitet. (Se också Appendix III.)

Kap. 2. Derivation. 

2.1  I detta avsnitt förbereds derivatans införande genom en diskution av lutning (slope) och tangentlinjer till kurvor  y = f(x). Det mesta bör vara bekant från gymnasiet, men, notera formeln för normalens lutning, s. 99.
Läs exempel 1-7

2.2  Definition av derivatan, s. 101. Du bör i enkla exempel kunna beräkna derivator utgående från definitionen.
Derivata av potenser (power rule), s. 104. (Den visas för heltal i avsnitt 2.3. Det generella fallet kräver logaritmer, kap. 3.)
Observera Leibniz' beteckningar, s. 105. De gör många formler enklare och mer intuitiva.
Läs exempel 1-5.

2.3  Sats 1, s. 110, säger att deriverbarheten medför kontinuitet.
Deriveringsreglerna i Sats 2, 3, 5 måste man behärska; det finns inget utrymme för att göra fel här. Deriveringsreglerna skall "sitta i ryggmärgen".
Läs exempel 1-4.

2.4  Kedjeregeln, Sats 6, s. 119, är en hörnsten i differentalkalkylen. Den är lätt att komma ihåg med Leibniz´ beteckningar (mitt på sidan).
Läs exempel 1-4.

2.5  Med hjälp av gränsvärdet i Sats 8, s. 124, och en trigonometrisk identitet (Ex. 1), kan man härleda derivatan till sinusfunktionen. Trigonometriska formler ger, tillsammans med deriveringsreglerna, uttryck för derivatorna till cosinus-, tangens- och cotangensfunktionerna, som man också skall kunna.
Observera att derivatan av tangens kan skrivas (tan x)´= 1/cos² x = 1 + tan² x.
Anm. I engelspråkig litteratur används ofta sekantfunktionerna  sec x, osv. Vi kommer inte att göra detta.
Läs exempel 1-5.

2.6  Medelvärdessatsen (Sats 11, s. 131) är mycket viktig. Satsens geometriska betydelse framgår av figur 2.25 (s. 131). Figur 2.26 på samma sida visar att man inte kan ändra på någon av satsens förutsättningar.
Med hjälp av medelvärdessatsen kan man dra slutsatser om en funktions avtagande/växande (dessa begrepp införs i def. 5, s. 133) om man vet derivatans tecken i ett intervall. Det viktigaste ur tillämpningssynpunkt är just detta, formulerat i Sats 12, s. 134.
Det är lätt att övertyga sig själv om att medelvärdessatsen gäller i det fall då funktionen antar lika värden i intervallets ändpunkter (Rolles sats, s. 134). Notera att man behöver här satsen om största och mista värde (max/min Theorem 8, s. 80). Från Rolles sats får man medelvärdessatsen genom ett slags variabelbyte; se fig. 2.30, s. 136.

2.7  Det kan vara bra att skumma igenom detta avsnitt för att bekanta sig med några tillämpningar av derivatan.

2.8  Högre ordningens derivator införs på naturligt sätt. Tolkning och tillämpningar följer i senare avsnitt.

2.9  Exemplen 1-6 illustrerar hur man bestämer derivatan till en funktion  y = f(x)  då funtionen ges av ekvationen  F(x,y) = 0.

2.10  Antiderivata (primitiv funktion), def. 7, och obestämd integral, def. 8. Differentialekvationer och begynnelsevärdesproblem, s. 157.
Läs exempel 1, 2, 3, 5, 6.

2.11  Hastighet, fart och acceleration. Läs exemplen 1, 3, 5.

Kap. 3. Transcendenta funktioner. 

3.1  Inverterbara (one-to-one) funktioner, def. 1. Invers funktion, def. 2, och dess egenskaper, s. 175. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen  y = x. Inversens derivata, mitt på s. 177 och förklarande figur 3.6.
Läs exempel 1, 2, 4.

3.2  Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet.

3.3  Här införs funktionen  ln x  som area av ett område mellan kurvan  y = 1/x  och x-axeln. Man visar (Sats 1) att  ln x  är den primitiva funktionen till  1/x  som antar värdet 0 för  x = 1. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen införs som invers till  ln x  och exponentiallagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Man definierar talet e genom  e = exp 1  och visar att  exp x = e^x. Sambandet (def. 7, s. 189) är viktig. Någon gång kan du ha användning av logaritmisk derivering.
Läs exempel 1-3, 6-8.

3.4  Exponentiell och logaritmisk tillväxt: Sats 5, och dess sammanfattning i rutan på s. 194. Funktionen  e^x  som gränsvärde (Sats 6, s. 198).
Läs exempel 1-3.

3.5  Sinus och andra trigonometriska funktioner är periodiska och därmed inte inverterbara: alla värden antas ju oändligt många gånger. Genom att betrakta dem på lämpliga delintervall, kan man invertera. På så sätt får man arcusfunktionerna (def. 9, 11 och 12 samt fig. 3.18, 3.22 och 3.25(a)). Derivator av arcusfunktioner (s. 203, 206 och 208). Avsnittet bör läsas med ordentlig eftertanke. (Inverser till sekantfunktionerna, s. 208-209 ingår inte.)
Läs exempel 1, 3, 5, 7, 9.

3.7  Alternativt kan du läsa avsnitt 17.7. Karakteristiska ekvationen (**), s. 216. Beroende av hur de karakteristiska rötterna ser ut, uppstår tre fall (s. 216-217). De kan beskrivas som (I) skilda reella rötter, (II) sammanfallande reella rötter, samt (III) icke-reella rötter.
Läs exempel 1-5.

Kap. 17. Ordinära differentialekvationer. 

17.7  Deta avsnitt är en kopia av avsnitt 3.7. Karakteristiska ekvationen (**), s. 1008. Beroende av hur de karakteristiska rötterna ser ut, uppstår tre fall (s. 1008-1009). De kan beskrivas som (I) skilda reella rötter, (II) sammanfallande reella rötter, samt (III) icke-reella rötter.
Läs exempel 1-5.

17.8  Den allmänna lösningen till en inhomogen ekvation är  y_h + y_p,  där  y_p  är en godtycklig (vilken som helst) partikulärlösning, och där  y_h  är den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation. Ansats för partikulära lösningar (i enkla fall) ges i rutan på s. 1018. Resonans på s. 1019. (Variation av parametrar, s. 1020-1021 ingår inte.)
Läs exempel 1-2.

Kap. 4. Tillämpningar av derivator. 

4.1  Ingår inte. Det kan ändå vara bra att skumma igenom detta avsnitt för att bekanta sig med andragradskurvor.

4.2  Extremvärden: def. 1 (globala), def. 2 (lokala). Kritiska punkter, singulära punkter. Sats 1, s. 234 är max/min satsen från kap. 1 (s. 80). Sats 2 (s. 235) och Sats 3 (s. 236) är mycket viktiga. De ger en metod för att finna största och minsta värden till en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall.
Läs exempel 1, 2, 3, 5.

4.3  I detta avsnitt ingår bara andraderivatatestet, Sats 6, s. 244.
Läs exempel 5.

4.4  Endast asymptotbegrepet, def. 5-7. Läs exempel 1-4.

4.5  I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem. Man måste själv formulera problemen matematiskt.
Läs exempel 1-5.

4.7  Formeln för linjär approximation (dvs. approximation av en funktionsgraf med dess tangentlinje) kan skrivas

f(x) = f(a) + f´(a)(x - a) + E(x) = P₁ + E₁(x),   där   E₁(x)= f´´(X)(x - a)²/2

där E₁ betecknar resttermen (felet) vid approximationen (av ordning 1).
Läs exempel 1-4.

4.8  Taylors formel, Sats 10, s. 282, är en generalisering av linjär approximation. Denna gång approximerar man f med ett polynom P_n av högre grad n. Detta polynom är valt så, att dess och dess derivators värden upp till ordning n sammanfaller med f:s, i den givna punkten. Vi kan skriva detta f(x) = P_n(x) + E_n(x), där approximationen P_n(x) och felet E_n(x) är givna i satsen.
Storleksordningen på restermen i en Taylorutveckling kan på ett bekvämt sätt beskrivas med hjälp av stort ordobegreppet (big-O, def. 9).
Läs exempel 1, 2, 4, 6, 7.

4.9  l'Hôpitals regel (Sats 12, s. 290 och Sats 13, s. 292) är det viktigaste verktyget för beräkning av gränsvärden.
Läs exempel 2-8.

Kap. 5. Integration.

5.1-5.2  Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att till fullo uppskatta effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med.
Läs exempel 1-2 i 5.2.

5.3  Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är att då indelningen blir finare skall, för "integrerbara" (def. 3) funktioner, dess över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, integralen av funktionen. Sats 2, s. 316, visar att denna procedur fungerar för kontinuerliga funktioner.
Läs exempel 2-4.

5.4  Här härleds diverse egenskaper till den bestämda integralen (Sats 3, s. 317-318). Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4, s. 320) kommer in i den oumbärliga Integralkalkylens fundamentalsats i nästa avsnitt.
Läs exempel 1, 3.

5.5  Sats 5, Integralens fundamentalsats, är vad gör integralen till ett användbart verktyg, genom kopplingen till differentialkalkylen. Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion.
Läs exempel 2, 4, 7, 9.

5.6  Variabelsubstitution i integraler, Sats 6, s. 322, innebär att man använder kedjeregeln baklänges. Det är en viktig metod.
I samband med integrering av trigonometriska funktioner bör man känna till formlerna för dubbla vinkeln (se nedre halvan av s. 335).
Läs exempel 3-6, 8.

5.7  Beräkning av area mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt.
Läs exempel 1-4.

Kap. 6. Beräkning av integraler.

6.1  Formeln för partiell integration (ruta på s. 345) är viktig. Den följer av produktregeln för derivator.
Läs exempel 1, 2, 5, 6.

6.2  t.o.m. s. 357. Läs exempel 1-6.

6.3  Det grundläggande exemplet i detta avsnitt är då nämnaren har skilda och enkla nollställen, som i rutan på s. 362. Detta behandlas i ex. 3-4.
Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex x² + 1, måste man göra en annan ansats, som i ex. 5-6.
I ex. 7-8 visas vad som händer om någon av faktorerna förekommer flera gånger. Kom ihåg att den beskrivna tekniken fungerar endast då täljaren är av lägre grad än nämnaren.

6.5  I detta avsnitt behandlas "generaliserade" integraler. Det är två olika saker man måste tänka på. Dels kan integrationsintervallet vara oändligt, dels kan integranden vara obegränsad i närheten av någon punkt. Man måste då beräkna integralen som ett gränsvärde, se exempel 1, 2, 3, 5, 6.
Sats 2, s. 378, och Sats 3, s. 379, är viktiga då man vill undersöka integralens konvergens. Dessa satser behövs senare i samband med konvergens av serier.

Kap. 7.  Tillämpningar av integraler.

7.1  Fig. 7.2-7.4 ger en föreställning om varför, rent allmänt, volym är integralen av area (formeln på övre halvan av s. 408). Formeln längst ned på s. 408 behandlar rotation kring x-axeln. Cylindriska skal, s. 411, bygger på en annan idé. Fig. 7.9 visar varför formeln på s. 412 gäller.
En sammanfattning av olika fall av rotationsvolymer finns på s. 414. Det är nog bättre att man lär sig hur dessa formler härleds, i stället för att lära dem utantill.
Läs exempel 1-3, 6-7.

7.2  Här behandlas andra volymsberäkningar, där metoden är att dela upp kroppen i "tunna skivor", vars area man kan bestämma, varefter man "summerar" dessa, dvs. integrerar arean.
Läs exempel 1.

7.3  Båg- eller kurvlängd: formlerna mitt på s. 422. Figur 7.22 förklarar mekanismen.
Area av rotationsyta: se sammanställning på s. 426. (återigen rekommenderas att man lär sig härledningen av dessa formler.)
Läs exempel 1-2, 5-6.

Kap. 9. Talföljder, serier och potensserier.

9.1  Konvergens av talföljder (sequences), def. 1. Läs exempel 5-6.

9.2  Konvergens av en (oädlig) serie betyder att följden av dess partialsummor sⁿ konvergerar (def. 3).
Den geometriska serien (def. 4) och resultaten om den (s. 529) är ett måste. Läs exempel 1. Ex. 4 skall man känna till: den harmoniska serien är divergent. Sats 4, s. 532, ger en test för divergens: om inte den allmänna termen an går mot noll så är serien divergent. Observera att omvändningen av denna sats är falsk: den harmoniska serien är divergent, men dess allmänna term går mot noll.

9.3  Positiva serier. Detta är det centrala avsnittet i kapitlet. Det är viktig att förstå att för positiva serier finns bara två möjligheter: seriens summa är ändlig (dvs serien är konvergent) eller oändlig (dvs serien är divergent).
Integraltestet, Sats 8, s. 535, är viktig. Fig. 9.4 visar varför det fungerar. Dess konsekvens i Ex. 1, om p-serier, är ett måste. I Ex. 2 ges prov på en annan tillämpning av integraltestet.
Sats 9, s. 538, och Sats 10, s. 539, ger de viktigaste metoderna för undersökning av konvergensen. Måste kunnas. Ex. 4-6 illustrerar dessa satser. Hoppa över s. 542 och resten av avsnittet.

9.4  Absolutkonvergens, def. 5, Sats 13, s. 544, är viktig. Betingat (conditional) konvergens, def. 6, Ex. 1, s. 547. Resten av avsnittet ingår inte.

9.5  (t.o.m. s. 555, samt Th. 19) I samband med Taylors formel såg vi exempel på potensserier. Här dyker den geometriska serien upp igen. Sats 17, s. 554, skall man känna till. Där ingår det viktiga begreppet konvergensradie. Den kan beräknas enligt formeln i rutan på s. 555.
Du skall kunna använda Sats 19, s. 563: Innanför konvergensintevallet får man derivera eller integrera en potensserie termvis. Läs Ex. 5, s. 561, och Ex. 7, s. 562.

9.8  T.o.m. exempel 2.